Question

（2010•衡阳模拟）某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持(

a

6

x2+

1

3

x)米的距离，其中a为常数且

1

2

≤a≤1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y（秒）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

Answer 1

分析：（1）自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，依题意列出函数解析式并化简即可
（2）由函数y=

2700

x

+9ax+18的性质，当x=

300 a

时，函数取得最小值，但由于定义域为（0，20]，故需要比较x=

300 a

与定义域的位置关系，分

3

4

≤a≤1，

1

2

≤a＜

3

4

两种情况讨论函数的最小值及取最小值时函数自变量的取值

解答：解：（1）依题意，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，
即  y=

2150+10×55+( a 6 x2+ 1 3 x)×(55-1)

x

=

2700

x

+9ax+18    （0＜x≤20，

1

2

≤a≤1）
（2）令

2700

x

=9ax，得x=

300 a

，又由

300 a

=20，得a=

3

4

∴①当

3

4

≤a≤1时，

300 a

≤20
由均值定理知当且仅当x=

300 a

时，y=

2700

x

+9ax+18≥2

2700 x ×9ax

+18=180

3a

+18
即当x=

300 a

时，y_min=180

3a

+18
②当

1

2

≤a＜

3

4

时，

300 a

＞20
∵y′=-

2700

x2

+9a＜0，（0＜x≤20）
∴函数y=

2700

x

+9ax+18在（0，20]上是减函数，
∴当x=20时，y_min=

2700

20

+180a+18=153+180a
答：若

1

2

≤a＜

3

4

，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若

3

4

≤a≤1，则当车队速度为

300 a

m/s时，通过隧道所用时间最少

点评：本题考查了将应用问题转化为数学问题的能力，求函数解析式的方法，利用函数性质求函数最值的方法，分类讨论的思想方法