Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2+y2=

c2

4

（c是椭圆的焦半距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．
（1）若椭圆C经过两点(1，

4 2

3

)、(

3 3

2

，1)，求椭圆C的方程；
（2）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求

OP

•

OE

的值（O是坐标原点）；
（3）若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令椭圆mx²+ny²=1，得

m+ 32 9 n=1 27 4 m+n=1

，由此能求出椭圆方程．
（2）直线AB：

x

-a

+

y

b

=1，设点P（x₀，y₀），点O，M，P，N所在的圆的方程为x²-x₀x+y²-y₀y=0，与圆x2+y2=

c2

4

作差，即有直线MN：x0x+y0y=

c2

4

，因为点P（x₀，y₀）在直线AB上，所以

x0

-a

+

y0

b

=1，由此能求出 

OP

•

OE

的值．
（3）由直线AB与圆G：x2+y2=

c2

4

相离，知e⁴-6e²+4＞0．因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3-

5

，连接ON，OM，OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，所以e⁴-3e²+1≤0．由此能求出椭圆离心率的取值范围．

解答：解：（1）令椭圆mx²+ny²=1，其中m=

1

a2

，n=

1

b2

，
得

m+ 32 9 n=1 27 4 m+n=1

，所以m=

1

9

，n=

1

4

，即椭圆为

x2

9

+

y2

4

=1．         …（3分）
（2）直线AB：

x

-a

+

y

b

=1，
设点P（x₀，y₀），则OP中点为(

x0

2

，

y0

2

)，
所以点O，M，P，N所在的圆的方程为(x-

x0

2

)2+(y-

y0

2

)2=

x 2 0 +y02

4

，
化简为x²-x₀x+y²-y₀y=0，…（5分）
与圆x2+y2=

c2

4

作差，即有直线MN：x0x+y0y=

c2

4

，
因为点P（x₀，y₀）在直线AB上，所以

x0

-a

+

y0

b

=1，
所以x0(x+

b

a

y)+(by-

c2

4

)=0，所以

x+ b a y=0 by- c2 4 =0

，
得x=-

c2

4a

，y=

c2

4b

，故定点E(-

c2

4a

，

c2

4b

)，…（8分）

OP

•

OE

=(x0，

b

a

x0+b)•(-

c2

4a

，

c2

4b

)=

c2

4

．                          …（9分）
（3）由直线AB与圆G：x2+y2=

c2

4

（c是椭圆的焦半距）相离，
则

ab

a2+b2

＞

c

2

，即4a²b²＞c²（a²+b²），4a²（a²-c²）＞c²（2a²-c²），
得e⁴-6e²+4＞0
因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3-

5

，①…（11分）
连接ON，OM，OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，
所以

ab

a2+b2

≤c，a²b²≤c²（a²+b²），a²（a²-c²）≤c²（2a²-c²），得e⁴-3e²+1≤0
因为0＜e＜1，所以

3- 5

2

≤e2＜1，②…（14分）
由①②，

3- 5

2

≤e2＜3-

5

，
所以

5 -1

2

≤e＜

10 - 2

2

．                                     …（15分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．