Question

3．已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，t∈[$\frac{1}{4}$，4]；若P是△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的取值范围是（　　）

• A． [13，17]
• B． [12，13]
• C． [$\frac{3}{4}$，12]
• D． [$\frac{3}{4}$，13]

Answer 1

分析 建立直角坐标系，由向量的坐标运算易得P的坐标，可化$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$为 17-（$\frac{1}{t}$+4t），再利用基本不等式求得它的最大值，由端点处的函数值，可得最小值，进而得到所求范围．

解答 解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=（1，0）+（0，4）=（1，4），
∴P（1，4），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}$-1，-4），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-4），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-（$\frac{1}{t}$-1）-4（t-4）=17-（$\frac{1}{t}$+4t）≤17-2$\sqrt{\frac{1}{t}•4t}$=13，
当且仅当$\frac{1}{t}$=4t，即t=$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{4}$，4]，时，取等号，
由t=4可得17-（16+$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{4}$，由t=$\frac{1}{4}$可得17-（1+4）=12，
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最大值为13，最小值为$\frac{3}{4}$．
则$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的范围是[$\frac{3}{4}$，13]．
故选：D．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，注意运用坐标法的运用，涉及对勾函数的最值和基本不等式的运用，属中档题．