Question

【题目】已知函数f（x）=ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=ex+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=ex+1，f'（1）=e+1， 函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1，
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A ，B（0，﹣1），
∴ ，
∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
（II）由f（x）≥x2得 ，
令h（x）= ， ，
令k（x）=x+1﹣ex…（6分）k'（x）=1﹣ex ，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．
因为x﹣1＜0，x2＞0，所以 ，
∴h（x）在（0，1）上是增函数．
所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e
【解析】（I）当a=1时，f（x）=ex+x﹣1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II）将f（x）≥x2在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为 在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．