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已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α、β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立,证明你的结论.
分析:本题考查的知识点是数学归纳法,要讨论是否存在实数α、β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立,我们先要根据“凑配”法解抽象函数的方法,求出对应的α、β,再利用数学归纳法进行证明.
解答:解:∵f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,
则f(2)=f(1)+f(a)=-lga+lga=0.
又f(1)=-lga,
α+β=0
2α+4β=1

α=
1
2
β=-
1
2

∴f(n)=(
1
2
n2-
1
2
n-1)lga.
证明:(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k时成立,即f(k)=(
1
2
k2-
1
2
k-1)lga,
则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(
1
2
k2-
1
2
k-1+k)lga=[
1
2
(k+1)2-
1
2
(k+1)-1]lga.
∴当n=k+1时,等式成立.
综合(1)(2)可知,存在实数α、β且α=
1
2
,β=-
1
2
,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立.
点评:认证问题是高考中难度较大的问题,我们一般的处理方法是,先用特殊值代入等方法求出满足条件的参数的值,再利用数学归纳法等对其进行严谨的论证,最后得到题目要求的结论.
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