Question

已知函数（x）=,a是正常数。（1）若f(x)= （x）+lnx,且a=,求函数f(x)的单调递增区间；（2）若g(x)=∣lnx∣+（x）,且对任意的x,x∈（0,2〕，且x≠x，都有＜-1，求a的取值范围

 

Answer 1

【答案】

（1）（0，）和（2，+∞）（2）≧

【解析】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．

（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．

解：⑴=-﹥1=﹥0x﹥2或0﹤x﹤，

所以函数的单调增区间为（0，）和（2，+∞）……………………………3分

⑵因为﹤-1，所以﹤0，

所以F=在区间（0,2】上是减函数。

①  当1≦x≦2时，F=ln+，

由在x∈上恒成立。

设，所以﹥0（1≦x≦2），

所以在[1,2]上为增函数，所以

②当0﹤x﹤1时，F=-ln+，

由-=在x∈（0,1）上恒成立。

令=﹥0，所以在（0,1）上为增函数，所以，综上：的取值范围为≧…………………12分