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已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B,若|AB|=8,求直线l的方程.
分析:(1)设出抛物线方程,代入点的坐标,即可求抛物线的方程;
(2)分类讨论,设出直线方程代入抛物线方程,求出弦长,利用|AB|=8,即可求直线l的方程.
解答:解:(1)由已知可令所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),而点M(4,-4)在抛物线上,则16=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x;
(2)由(1)知F(1,0).
若直线l垂直于x轴,则A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,与题设不符;
若直线l与x轴不垂直,可令直线l的方程为y=k(x-1),再设A(x1,y1),B(x2,y2),
y=k(x-1)
y2=4x
,消去y可得k2x2-2(k2+2)+k2=0,于是x1+x2=
2(k2+2)
k2
,x1x2=1,
则|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2
=
4(1+k2)
k2
=8,解得k=±1,
从而,所求直线l的方程为y=±(x-1).
点评:本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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6
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(Ⅰ)求椭圆方程;
(Π)如图,B为椭圆右顶点,椭圆上点C与A关于原点对称,过点A作两条直线交椭圆P、Q(异于A、B),交x轴与P',Q',若|AP'|=|AQ'|,求证:存在实数λ,使得

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