Question

11．（1）已知命题p：关于x的不等式x²+（m-1）x+m²≤0的解集为Φ；命题q：方程x²+（2m-1）x+m²=0的两个根一个大于1，一个小于1；当p∨q为假时，求m的范围．
（2）已知p：x²-8x-20≤0，q：x²-2x+1-m²≤0，（m＞0），且￢p是￢q必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于命题p：关于x的不等式x²+（m-1）x+m²≤0的解集为∅，可得△＜0，解得m范围；命题q：设方程x²+（2m-1）x+m²=0的两个根分别为x₁，x₂，则（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，利用根与系数的关系代入即可得出m的取值范围．当p∨q为假时，p与q都是假命题，即可得出．
（2）由于￢p是￢q必要不充分条件，可得p是q的充分不必要条件．分别解出即可得出．

解答 解：（1）由于命题p：关于x的不等式x²+（m-1）x+m²≤0的解集为∅，∴△=（m-1）²-4m²＜0，解得$m＞\frac{1}{3}$或m＜-1；
命题q：设方程x²+（2m-1）x+m²=0的两个根分别为x₁，x₂，则（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，∴m²+（2m-1）+1＜0，解得-2＜m＜0．
当p∨q为假时，p与q都是假命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤\frac{1}{3}}\\{m≤-2或m≥0}\end{array}\right.$，解得$0≤m≤\frac{1}{3}$．
∴m的范围是$[0，\frac{1}{3}]$．
（2）∵￢p是￢q必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．
由p：x²-8x-20≤0，解得-2≤x≤10．
q：x²-2x+1-m²≤0，（m＞0），∴m$≥\sqrt{（x-1）^{2}}$，∴m≥9．
∴实数m的取值范围是[9，+∞）．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、一元二次方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．