Question

设a为实数，函数f（x）=x³-3（1-a）x²+（a²+8a-9）x，x∈R．
（1）当a=0时，求f（x）的极大值、极小值；
（2）若x＞0时，f（x）≥0，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=0时，f（x）=x³-3x²-9x，f'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），列表如下：

x	…	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）	…
f'（x）	…	+	0	-	0	+	…
f （x）	…	↗	极大值	↘	极小值	↗	…

所以f（x）的极大值为f（-1）=5，极小值为f（3）=-27． …（4分）
（2）令 g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9，则问题等价于当x＞0时，g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9≥0，求a的取值范围．
ⅰ）若二次函数g（x）的对称轴＜0，即a＞1时，根据图象，只需g（0）≥0，即a²+8a-9≥0，解得a≤-9或a≥1，结合a＞1，得a＞1．
ⅱ）若二次函数g（x）的对称轴≥0，即a≤1时，根据图象，只需△=9（1-a）2-4（a2+8a-9）≤0，解得1≤a≤9．结合a≤1，得a=1．
故当x＞0时，f（x）≥0，实数a的取值范围是a≥1． …（9分）
（3）要使函数f（x）在（0，1）上是减函数，只需f′（x）在（0，1）上恒小于0，因为 f'（x）=3x²-6（1-a）x+a²+8a-9，其二次项系数为3，从而只需f（0）≤0，且 f（1）≤0，
即，解得
∵＜1，所以-9≤a≤．
综上所述，若函数f（x）在（0，1）上是减函数，则a的取值范围是-9≤a≤．…（14分）
分析：（1）当a=0时，求导数，确定函数的单调性，即可得到函数f（x）的极大值、极小值；
（2）令g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9，则问题等价于当x＞0时，g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9≥0，求a的取值范围．利用函数的对称轴，分类讨论，即可求实数a的取值范围；
（3）要使函数f（x）在（0，1）上是减函数，只需f′（x）在（0，1）上恒小于0，因为 f'（x）=3x²-6（1-a）x+a²+8a-9，其二次项系数为3，从而只需f（0）≤0，且 f（1）≤0，由此可得a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，正确求导是关键．