Question

20．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x²=2py的焦点为M．
（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）求出p=2，M（0，1），分类讨论，直线与抛物线方程联立，即可求直线l的方程；
（2）直线MF与抛物线联立，利用韦达定理，根据△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|，求△OAB的面积．

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x²=2py的焦点为M，
∴p=2，M（0，1）
斜率不存在时，x=0，满足题意；
斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y²=4x，可得k²x²+（2k-4）x+1=0，
k=0时，x=$\frac{1}{4}$，满足题意，方程为y=1；
k≠0时，△=（2k-4）²-4k²=0，∴k=1，方程为y=x+1，
综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；
（2）直线MF的方程为y=-x+1，代入y²=4x，可得y²+4y-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{16+16}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．