Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O，E分别为B₁D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC₁B₁；
（2）求证：平面B₁DC⊥平面B₁DE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）：连接BC₁，设BC₁∩B₁C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE?面BCC₁B₁，BF?面BCC₁B₁，可证OE∥面BCC₁B₁．
（2）先证明BC₁⊥DC，再证BC₁⊥面B₁DC，而BC₁∥OE，OE⊥面B₁DC，又OE?面B₁DE，从而可证面B₁DC⊥面B₁DE．

解答：
证明：（1）：连接BC₁，设BC₁∩B₁C=F，连接OF，…2分
因为O，F分别是B₁D与B₁C的中点，所以OF∥DC，且OF=

1

2

DC，
又E为AB中点，所以EB∥DC，且d₁=1，
从而d2=d3=

3

2

，即四边形OEBF是平行四边形，
所以OE∥BF，…6分
又OE?面BCC₁B₁，BF?面BCC₁B₁，
所以OE∥面BCC₁B₁．…8分
（2）因为DC⊥面BCC₁B₁，BC₁?面BCC₁B₁，
所以BC₁⊥DC，…10分
又BC₁⊥B₁C，且DC，B₁C?面B₁DC，DC∩B₁C=C，
所以BC₁⊥面B₁DC，…12分
而BC₁∥OE，所以OE⊥面B₁DC，又OE?面B₁DE，
所以面B₁DC⊥面B₁DE．…14分

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．