Question

10．如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M，N分别为AB，DE的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCD；
（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在点F，使直线MF与平面EMC所成角为$\frac{π}{6}$，若存在，求出CF的长，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明MN∥BD，即可证明：MN∥平面BCD；
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M-xyz，求出相关点的坐标以及
平面EMC的一个法向量，设面DBC的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）设$\overrightarrow{CF}$=$λ\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），$\overrightarrow{MF}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），利用MF与平面EMC所成角为$\frac{π}{6}$，列出方程求出λ，即可得到点的位置．

解答 （Ⅰ）证明：∵EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，
∴AE∥BD，
∵M，N分别为AB，DE的中点，
∴MN∥BD，
∵MN?平面BCD，BD?平面BCD，
∴MN∥平面BCD；
（Ⅱ）解：以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M-xyz，
则M（0，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（$\sqrt{2}$，0，2），E（-$\sqrt{2}$，0，1），
∴$\overrightarrow{ME}$=（-$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{MC}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
设平面EMC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\sqrt{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{2}$）
设平面DBC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}=0}\\{2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（Ⅲ）解：设$\overrightarrow{CF}$=$λ\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），$\overrightarrow{MF}$=（$\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}λ，2λ$），
∵$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{2}$），∴cos＜$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{3\sqrt{2}λ}{\sqrt{3}•\sqrt{8{λ}^{2}-4λ+2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$λ=\frac{1}{4}$，
∴在线段CD上是否存在点F，使直线MF与平面EMC所成角为$\frac{π}{6}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查直线与平面平行的判断与性质定理的应用，二面角的平面角以及直线与平面所成角的处理方法，空间向量的数量积的应用．