Question

函数f（x）=3sin（kx+

π

3

）+1（k＞0）的最小正周期为T，且T∈（1，3）
（1）求实数k的范围；
（2）若k∈N₊，当k取最小值时，①求函数f（x）的最大值及相应的x的取值集合；②求函数f（x）的对称中心．

Answer 1

分析：（1）根据周期T=

2π

k

∈(1，3)，可得

2π

3

＜k＜2π，由此求得k的范围．
（2）k∈N₊，所以k_min=3，且 f(x)=3sin(3x+

π

3

)+1，①当3x+

π

3

=2nπ+

π

2

，n∈Z，f（x）_max=4．②令3x+

π

3

=nπ，n∈Z，求得x=

nπ

3

-

π

9

，n∈Z，从而得到函数f（x）的对称中心．

解答：解：（1）因为T=

2π

k

∈(1，3)，…（2分）     
 所以

2π

3

＜k＜2π，即k的范围是 （

2π

3

，2π）．…（1分）
（2）k∈N₊，所以k_min=3，…（2分） 
  f(x)=3sin(3x+

π

3

)+1，
①当3x+

π

3

=2nπ+

π

2

，n∈Z，即{x|x=

2nπ

3

+

π

18

，n∈Z}时，…（2分） 
 f（x）_max=4．…（1分）
②令3x+

π

3

=nπ，n∈Z，x=

nπ

3

-

π

9

，n∈Z，…（2分）
即函数f（x）的对称中心是(

nπ

3

-

π

9

，1)，n∈Z．…（2分）

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、对称性和最值，属于中档题．