Question

已知f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9，存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（　　）

• A、30
• B、26
• C、36
• D、6

Answer 1

分析：依题意，可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，从而可猜得最大的m的值为36，再利用数学归纳法证明即可．

解答：解：由f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除；
当n=k+1时，
[2（k+1）+7]•3^k+1+9
=3[（2k+7）•3^k+9]-18+2×3^k+1
=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
∵3^k-1-1是2的倍数，
∴18（3^k-1-1）能被36整除，
∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被36整除，m的最大值为36．

点评：本题考查数学归纳法，考查转化运算、猜想与推理证明的能力，属于中档题．