Question

2．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）．
（1）若f（α）=$\frac{1}{3}$，且α∈（-$\frac{π}{2}$，0），求sin（2α）的值；
（2）在△ABC中，若f（$\frac{A}{2}$）=1，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦公式求得sin（2x+$\frac{π}{6}$）的值，从而求得 sin（2α）=sin[（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]的值．
（2）由条件求得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，可得A=$\frac{π}{3}$．化简sinB+sinC为$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），结合$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的定义域和值域，求得sinB+sinC的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵f（α）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，且α∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（2α）=sin[（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．
（2）△ABC中，若f（$\frac{A}{2}$）=1，所以sin（A+$\frac{π}{6}$）=1．
因为0＜A＜π，所以A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$．
sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
因为0＜B＜$\frac{2π}{3}$，所以$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
所以$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$．
所以sinB+sinC的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．