Question

已知函数y=x3-2x2+x+3，x∈[

2

3

，1]，求此函数的
（1）单调区间；
（2）值域．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数y′=3x²-4x+1，讨论导数的正负即可得出函数的单调区间；
（2）研究函数在区间[

2

3

，1]上的单调性，得出函数为减函数的性质，从而得出f（

2

3

）是最大值，f（1）是最小值，进而得出函数的值域．

解答：解：（1）y′=3x²-4x+1  （ 2分）     
由y′=0，得x1=

1

3

，x2=1．（4分）
所以，对任意x∈[

2

3

，1]，都有y′＜0，
因而，所求单调递减区间为[

2

3

，1]．（6分）
（2）由（1）知，y最大=f(

2

3

)=3

2

27

，（8分）
y_最小=f（1）=3．
所求函数值域为[3，3

2

27

]．（10分）

点评：本题考查了利用导数工具研究函数的单调性，求函数的值，属于中档题．讨论导数的零点，在零点的两侧研究导数的正负，是研究函数单调性的关键．