Question

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为（　　）

• A．

  π

  2

• B．

  3 π

  3

• C．

  2 π

  3

• D．4π

Answer 1

分析：根据圆锥的母线长等于侧面展开图的半圆的半径，由半圆面的面积求出弧圆锥母线长，由半圆弧长等于圆锥的底面周长求出圆锥的底面半径，在由圆锥的高、底面半径和母线围成的直角三角形中利用勾股定理求圆锥的高，则圆锥的体积可求．

解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l．如图，
由圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，得

1

2

πl2=2π，
所以l=2．
又半圆的弧长为πl，圆锥的底面周长为2πr，
所以πl=2πr，得r=

1

2

l=

1

2

×2=1．
所以圆锥的高h=SO=

SA2-OA2

=

22-12

=

3

．
所以圆锥的体积为

1

3

πr2h=

1

3

π•1•

3

=

3 π

3

．
故选B．

点评：本题考查了圆锥的结构特征，考查圆锥体积的计算，解答此题的关键是熟练掌握圆锥的母线长及底面周长与展开图之间的关系，是基础题