Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（Ⅰ）求实数a的值，使y=f（x）在其定义域[-5，5]上是偶函数；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（Ⅲ）若函数f（x）的值域是[1，37]，试求实数a的值．

Answer 1

解：（I）依题意，f（x）在[-5，5]上是偶函数，∴f （-x）-f （x）=[（-x²）-2ax+2]-（x²+2ax+2）=-4ax=0
对任意x∈[-5，5]成立，∴a=0；
∴当a=0时，y=f （x）在定义域[-5，5]上是偶函数；
（Ⅱ）∵函数f（x）=x²+2ax+2的图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x=-a；
∴当-a≥5，即a≤-5时，f（x）图象在对称轴的左侧，函数是减函数；
当-a≤-5，即a≥5时，f（x）图象在对称轴的右侧，函数是增函数；
所以f （x）在区间[-5，5]上是单调函数时，a的取值范围是：{a|a≤-5，或a≥5}．
（Ⅲ）当-a≤-5，即a≥5时，函数f（x）在[-5，5]上是增函数，
∴，不满足条件；
当-5＜-a≤0，即0≤a＜5时，函数f（x）在[-5，5]上是先减后增，
∴，∴a=1；
当0＜-a＜5，即-5＜a＜0时，函数f（x）在[-5，5]上也是先减后增，
∴，∴a=-1；
当-a≥5，即a≤-5时，函数f（x）在[-5，5]上是减函数，
∴，不满足条件；
综上，所求实数a的值为：a=±1．
分析：（I）由f（x）是偶函数，知f（-x）=f（x） 对任意x成立，可得a的值；
（Ⅱ）由f（x）的图象是抛物线，且开口向上，区间[-5，5]在对称轴一侧时为单调函数，从而得a的取值范围；
（Ⅲ）根据f（x）在区间[-5，5]上的单调性，讨论f（x）在[-5，5]上的最值，从而求得a的值．
点评：本题考查了二次函数在闭区间上的单调性与最值问题，当二次函数图象的对称轴不确定时，需要讨论对称轴在区间内、还是区间外．