Question

（2013•延庆县一模）已知定义在正整数集上的函数f（n）满足以下条件：
（1）f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，其中m，n为正整数；
（2）f（3）=6．
则f（2013）=

2027091

．

Answer 1

分析：由已知可知f（2013）=f（2010）+f（3）+3×2010=f（2007）+2f（3）+3（2007+2010）=f（2004）+3f（3）+3（2004+2007+2010）=…=f（3）+670f（3）+3（2+6+…+2010），结合已知及等差数列的求和公式即可求解

解答：解：∵f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，f（3）=6．
∴f（2013）=f（2010）+f（3）+3×2010
=f（2007）+2f（3）+3（2007+2010）
=f（2004）+3f（3）+3（2004+2007+2010）
=…
=f（3）+670f（3）+3（2+6+…+2010）
=671f（3）+3×

3+2010

2

×670
=2027091
故答案为：2027091

点评：本题主要考查了抽象函数求解函数值，及等差数列的求和公式的应用，解题的关键是利用已知函数关系进行递推．