Question

设函数f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx-cos²ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；
（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
解答：解：f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx-cos²ωx+λ
=sin2ωx-cos2ωx+λ
=2sin（2ωx-）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-=+kπ，k∈z
∴ω=+，又ω∈（，1）
令k=1时，ω=符合要求
∴函数f（x）的最小正周期为=
（2）∵f（）=0
∴2sin（2××-）+λ=0
∴λ=-
∴f（x）=2sin（x-）-
故函数f（x）的取值范围为[-2-，2-]
点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，复合函数值域的求法，正弦函数的图象和性质，属基础题