Question

若（x²-3x+2）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰
（1）求a₂
（2）求a₁+a₂+…+a₁₀
（3）求（a₀+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）²．

Answer 1

分析：（1）根据 （x²-3x+2）⁵=（x-1）⁵•（x-2）⁵，a₂ 是展开式中x² 的系数，求出a₂ 的值．
（2）令x=1，代入已知式可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，而令x=0得 a₀=32，从而求得 a₁+a₂+…+a₁₀ 的值．
（3）令x=-1 可得 a₀+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）=6⁵，再由a₀+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀+（a₁+a₃+…+a₇+a₉）
=0，相乘即得所求．

解答：解：（1）（x²-3x+2）⁵=（x-1）⁵•（x-2）⁵，a₂ 是展开式中x² 的系数．
∴a₂ =C₅⁵（-1）⁵ C₅³（-2）³+C₅⁴（-1）⁴C₅⁴（-2）⁴+C₅³（-1）³C₅⁵（-2）⁵=800．
（2）令x=1，代入已知式可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，而令x=0得 a₀=32，
∴a₁+a₂+…+a₁₀=-32．
（3）令x=-1 可得 a₀+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）=6⁵．
再由a₀+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀+（a₁+a₃+…+a₇+a₉）=0，
把这两个等式相乘可得 （a₀+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）²=6⁵×0=0．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数，是解题的关键．