Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.

（1）求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；

（2）在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面ADE.

Answer 1

(1)证明略 (2) 当=时，A₁M⊥平面ADE

解析:

  建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，

不妨设正方体的棱长为2，

则A（2，0，0），E（2，2，1），

F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），

设平面AED的法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），

则n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，0，0）=0，

n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，2，1）=0，

∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.

令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),

同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).

∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,

∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

（2）解  由于点M在直线AE上，

设==（0，2，1）=（0，2，）.

可得M（2，2，），∴=（0，2，-2），

∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，

只需A₁M⊥AE，

∴·=（0，2，-2）·（0，2，1）=5-2=0，

解得=.

故当=时，A₁M⊥平面ADE.