Question

若在所给条件下，数列{a_n}的每一项的值都能唯一确定，则称该数列是“确定的”，在下列各组条件下，有哪些数列是“确定的”？请把对应的序号填在横线上

 

．
（注：S_n是{a_n}的前n项和，n∈N^*）
①{a_n}是等差数列，S₁=2，S₂=3；
②{a_n}是等差数列，S₁=1，S₅=25；
③{a_n}是等比数列，S₁=1，S₄=31；
④{a_n}是等比数列，S₁=2，a₃=2；
⑤{a_n}满足S_n=2a_n．

Answer 1

分析：通过题目提供的信息，由等差数列，等比数列的项和前n项和以及它们的关系求得其通项，即可确定该数列中的项，从而得到答案．

解答：解：∵①{a_n}是等差数列，设其公差为d，
又∵S₁=2，S₂=3∴a₂=3-2=1∴d=1-2=-1∴a_n=2-（n-1）=3-n 每一项都是确定的，∴①对
∵②{a_n}是等差数列，S₁=1，S₅=25∴S₅=

5(a1+a5)

2

=

5(1 +a5)

2

=25∴a₅=9∴4d=9-1=8∴d=2∴a_n=1+2（n-1）=2n-1∴②对
∵③{a_n}是等比数列，S₁=1，S₄=31 设其公比为q（q≠1），∴S₄=

a1(1-q4)

1-q

=

1× (1-q4)

1-q

=31∴q³+q²+q=30
令y=q³+q²+q，则y′=3q²+2q+1，∵其△=4-12=-8＜0∴y′＞0恒成立∴函数y=q³+q²+q为单调增函数，
∴方程q³+q²+q=30有唯一的解，即{a_n}的每一项都是确定的．∴③对．
④{a_n}是等比数列，S₁=2，a₃=a₁•q²=2∴q²=1∴q=±1∴{a_n}的各项是不确定的∴④不对．
⑤{a_n}满足S_n=2a_n∴a₁=2a₁∴a₁=0   当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1 ∴a_n=2a_n-1，∴a_n=0．∴⑤对
故答案为：①②③⑤

点评：本题是一道信息给予题，正确把握新概念是解决问题的根本，主要考查了等差，等比关系的确定，是个基础题．