Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（-1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*)，且a_n∈（-1，0）∪（0，1），则数列{f（a_n）}为等比数列．
其中你认为正确的所有结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①取x=y=0代入已知的等式，则可求f（0）=0；
②取x=0，y=x，代入已知等式，整理后可得函数f（x）为奇函数；
③取x，y∈（-1，1），可证出-1＜

x-y

1-xy

＜0，当f(

x-y

1-xy

)＞0时，不能证明函数f（x）是定义域内的增函数；
④运用奇函数定义，得f(an)+f(an)=f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)=f（a_n+1），整理后可得数列{f（a_n）}为等比数列．

解答：解：①由对任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．
取x=y=0，则f(0)-f(0)=f(

0-0

1-0

)=f(0)，所以f（0）=0，所以①正确；
②取x=0，y=x，则f(0)-f(x)=f(

0-x

1-0•x

)=f(-x)，即f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以②正确；
③设-1＜x＜y＜1，则-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以

x-y

1-xy

＜0，
又

x-y

1-xy

+1=

x-y+1-xy

1-xy

=

(1-y)(1+x)

1-xy

＞0，
所以-1＜

x-y

1-xy

＜0，
若f(

x-y

1-xy

)＞0，则f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0，有f（x）＞f（y），此时函数为减函数，
所以③不正确；
④由f(an)+f(an)=f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)=f（a_n+1），所以f（a_n+1）=2f（a_n），
又a_n∈（-1，0）∪（0，1），所以f（a_n）≠0，所以数列{f（a_n）}为等比数列．
所以④正确．
故答案为①②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特值思想，解答此题的关键是把x，y取特值后灵活变形，考查了学生的观察能力和灵活解决问题的能力，此题是中档题．