Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数{a_n}满足b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，n∈N^*．
∴当n=1时，a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．
当n=1时上式也成立，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2n-$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=2n-2ⁿ+1．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．