Question

2．复数z，w满足zw+2iz-2iw+1=0，|z|=$\sqrt{3}$，证明：|w-4i|是常数并求出这个常数．

Answer 1

分析 将zw+2iz-2iw+1=0，求出化简z，用|z|=$\sqrt{3}$，解w然后求出|w-4i|即可．

解答 由已知得z=$\frac{2iw-1}{w+2i}$．又∵|z|=$\sqrt{3}$，
∴|$\frac{2iw-1}{w+2i}$|=$\sqrt{3}$．
∴|2iw-1|²=3|w+2i|²．
∴（2iw-1）（-2i$\overline{w}$-1）=3（z₂+2i）（$\overline{w}$-2i）．
整理得：w$\overline{w}$+4iw-4i$\overline{w}$-11=0．
即（w-4i）（$\overline{w}$+4i）=27．
∴|w-4i|²=27，
即|w-4i|=3$\sqrt{3}$．
∴：|w-4i|是常数并，这个常数存在常数k=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了复数方程的化简，以及复数的模的运算，属于基础题．