Question

函数f(x)=Asin(wx+θ)，(A＞0，w＞0，|θ|＜

π

2

)的图象如图，
（1）求它的解析式．
（2）若对任意实数x∈[0，

π

2

]，则有|f（x）-m|＜2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可知A=

2

，

3

4

T=

3π

4

，从而可求w，又函数y=f（x）过（

π

12

，

2

），依题意可求θ，从而可确定其解析式；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的单调性与最值可求得f（x）的值域，解不等式|f（x）-m|＜2，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）由图知，A=

2

，

3

4

T=

5π

6

-

π

12

=

3π

4

，
∴T=π，w=2，
又2×

π

12

+θ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴θ=2kπ+

π

3

（k∈Z），|θ|＜

π

2

，
∴θ=

π

3

，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）∈[-

6

2

，

2

]；①
又|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2，
即

m＜f(x)min+2 m＞f(x)max-2

，
解得：

2

-2＜m＜2-

6

2

，
∴实数m的取值范围为（

2

-2，2-

6

2

）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查恒成立问题与解不等式组的能力，属于难题．