Question

7．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，其中M，P分别是函数f（x）的图象与坐标轴的交点，N是函数f（x）的图象的一个最低点，若点N，P的横坐标分别为$\frac{5π}{8}$，$\frac{11π}{8}$，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2$\sqrt{2}$，则下列说法正确的个数为（　　）
①A=±2；
②函数f（x）在[$\frac{9π}{4}$，$\frac{21π}{8}$]上单调递减；
③要得到函数f（x）的图象，只需将函数y=4sinxcosx的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由周期求得ω，由五点法作图求出φ的值，再利用$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2$\sqrt{2}$以及两个向量的数量积的定义，求得A，可得函数f（x）的解析式，从而得出结论．

解答 解：结合函数f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，
根据点N，P的横坐标分别为$\frac{5π}{8}$，$\frac{11π}{8}$，可得$\frac{3T}{4}$=$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{11π}{8}$-$\frac{5π}{8}$，求得ω=2，f（x）=Acos（2x+φ）．
①假设A＞0，再根据五点法作图可得2•$\frac{5π}{8}$+φ=π，求得φ=-$\frac{π}{4}$，∴f（x）=Acos（2x-$\frac{π}{4}$）．
故M（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$A），N（$\frac{5π}{8}$，-A）．
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•A²=-2$\sqrt{2}$，∴A=2，f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{4}$）．
当x∈[$\frac{9π}{4}$，$\frac{21π}{8}$]时，2x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{17π}{4}$，5π]，满足f（x）单调递减，故②正确．
要得到函数f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{4}$）的图象，只需将函数y=4sinxcosx=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，
故③不正确．
②若a＜0，根据函数的可得2•$\frac{5π}{8}$+φ=2π，k∈Z，求得 φ=$\frac{3π}{4}$，不满足|φ|＜$\frac{π}{2}$，故①不正确，
综上可得，只有②正确，
故选：B．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用两个向量的数量积的定义，求得A，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．