Question

20．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）“H函数”．下列函数是“H函数”的所有序号为①③．
①y=e^x+x；②y=x²；③y=3x-sinx；④$\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．
对于①，y=e^x+x为增函数，满足条件．
对于②，函数y=x²在定义域上不单调，不满足条件．
对于③，y=3x-sinx，y′=3-cosx＞0，函数单调递增，满足条件．
对于④，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为①③，
故答案为：①③

点评 本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键，属于中档题．