Question

【题目】已知函数f（x）= ，x∈[2，6]．
（1）证明f（x）是减函数；
（2）若函数g（x）=f（x）+sinα的最大值为0，求α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证法一：

设2≤x1＜x2≤6，

则 = ，

由2≤x1＜x2≤6，得x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

于是f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴函数 在[2，6]上是减函数．

证法二：∵函数f（x）= ，

∴f′（x）= ，

当x∈[2，6]时，f′（x）＜0恒成立，

故函数 在[2，6]上是减函数

（2）解：由（1）知f（x）在[2，6]上单调递减，

∴f（x）max=f（2）=1．

于是1+sinα=0，即sinα=﹣1，

∴ ，k∈Z

【解析】（1）证法一：设2≤x1＜x2≤6，作差判断出f（x1）＞f（x2），进而可得：函数 在[2，6]上是减函数．

证法二：求导，根据x∈[2，6]时，f′（x）＜0恒成立，可得：函数 在[2，6]上是减函数；（2）由（1）知f（x）在[2，6]上单调递减，故1+sinα=0，进而得到答案．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)的相关知识才是答题的关键．