Question

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^ax，其中a∈R，x∈R若函数．y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行．
（I）求实数a的值；
（II）求函数y=f（x）的单调区间；
（III）当a＞0时，设g（x）=lnf（x），当，x∈（1，+∞）时，函数g（x）图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（I）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；
（II）对参数a进行分类，令导数fˊ（x）＞0，解不等式即可求出f（x）的单调性；
（III）先由（I）得出a的值，然后假设存在两点使得过此两点处的切线互相垂直，求出函数的导数，再根据k₁•k_2^=-1，列出关于x_1、x₂的不等式，推出矛盾就可得出结论．
解答：解：f'（x）=e^ax[ax^2_-（a^2_-2）x]
（1）因为f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行．
f'（1）=0，即a-a²+2=0
解得a=-1或2
（2）由f'（x）=e^ax[ax^2_-（a^2_-2）x]得
①a=2时，f'（x）=e^2x_（2x^2_-2x）
由f'（x）＞0得
x＞1或x＜0
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）
②a=-1时，令f'（x）＞0得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是 （-∞，0）和（1，+∞）
（III）当a＞0时，由（1）知a=2
∵g（x）=lnf（x）=ln（x²-2x+1）+2x
假设存在两点A、B，使得过此两点处的切线互相垂直，则由
g'（x）=
知斜率k₁=g'（x₁）=  k₂=g'（x₂）=
且k₁•k_2^=-1
∵x∈（1，+∞）
∴x1-1＞0，x2-1＞0
∴，因此上式矛盾！故假设不成立．
∴函数上不存在两点A、B，使得过此两点处的切线互相垂直．
点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、两条直线平行的判定等基础知识，会利用导数研究函数的单调区间，考查推理能力．