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(2012•安徽模拟)垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积是
1
4
1
4
分析:先求直线l的方程,再求直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积.
解答:解:设直线l的方程为y=-3x+m,切点为(n,n3+3n2-1),
则由题意可得3n2+6n=-3,∴n=-1,
故切点为(-1,1),代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2,
直线l的方程为y=-3x-2,
∴直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积是
0
-1
[(x3+3x2-1)-(-3x-2)]dx
=
0
-1
(x+1)3dx
=
1
4
(x+1
)4|
0
-1
=
1
4

故答案为:
1
4
点评:本题考查定积分,考查导数知识的运用,解题的关键是确定切线方程,正确表示图形面积,属于中档题.
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2
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