Question

已知函数f（x）=x³-

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x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=x³-

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x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值，我们求出f′（x）的解析式，根据f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数f（x）的单调性，进而求出f（x）在区间[1，2]的最大值，根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c²恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，则y=f（x）的极大值小于0，或y=f（x）的极小值大于0，进而构造关于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-

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x2+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0             …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2          …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）=0，则x=-

2

3

，或x=1           …..（4分）
∵x∈（-∞，-

2

3

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-

2

3

，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增    …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c²，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1                       …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（-

2

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）=

22

27

+c，
f（x）的极小值为f（1）=c-

3

2

     …（8分）
∵当f（-

2

3

）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点   …．（9分）
∴

22

27

+c＜0，或c-

3

2

＞0，
即c＜-

22

27

，或c＞

3

2

时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．