Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x²-x，则当x∈R时，函数f（x）的解析式为（　　）

• A、f（x）=x²-|x|
• B、f（x）=x²+|x|
• C、f（x）=x|x|-x
• D、f（x）=x|x|+x

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：设x＜0，-x＞0，根据x＞0时的解析式及f（x）在R上为奇函数得：f（-x）=x²+x=-f（x），所以f（x）=-x²-x，所以x＞0，和x＜0时的解析式可统一写成：f（x）=x|x|-x，并且f（0）=0，也满足该解析式，所以该解析式便是函数f（x）在R上的解析式．

解答： 解：设x＜0，-x＞0，则根据已知条件得：
∴f（-x）=x²+x=-f（x）；
∴f（x）=-x²-x；
即x＜0时，f（x）=-x•x-x，x＞0时，f（x）=x•x-x；
所以对于x＜0，和x＞0时的解析式可统一写成：f（x）=x|x|-x；
又x=0时，f（0）=0，满足f（x）=x|x|-x；
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=x|x|-x．
故选C．

点评：考查奇函数的定义，以及根据奇函数的定义知道x＞0时的解析式可求x＜0时的解析式，以及含绝对值不等式．