Question

在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.
（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）轨迹M的方程为（）
（Ⅱ）直线EF的斜率为定值，其值为

本试题主要考查了直线与直线的位置关系，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。(1) 依题意知直线的方程为：,直线的方程为：,利用交轨法得到轨迹方程的求解。
(2)设出直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理，和斜率公示得到结论。
（Ⅰ）依题意知直线的方程为：     ①……………2分
直线的方程为：       ②…………………3分
设是直线与交点，①×②得
由　　整理得            …………………4分
∵不与原点重合　∴点不在轨迹M上…………………5分
∴轨迹M的方程为（）…………………6分
（Ⅱ）∵点()在轨迹M上　∴解得，即点A的坐标为
设，则直线AE方程为：，代入并整理得
…………………9分
设,,  ∵点在轨迹M上，
∴   ③,      ④………………11分
又得，将③、④式中的代换成，可得
，…………………………12分
∴直线EF的斜率…………………13分
∵
∴
即直线EF的斜率为定值，其值为