Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量

m

=(1，sin(B-A))，平面向量

n

=（sinC-sin（2A），1）．
（I）如果c=2，C=

π

3

，且△ABC的面积S=

3

，求a的值；
（II）若

m

⊥

n

，请判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（I）根据余弦定理以及c和C的值可求得a²+b²-ab=4，进而根据三角形面积公式求得ab的值，最后联立方程求得a．
（II）根据）

m

⊥

n

可推断出sinC-sin2Asin（B-A）=0．化简整理求得A为90°判断出三角形为直角三角形或A=B判断三角形为等腰三角形．

解答：解：（I）由余弦定理及已知条件得a²+b²-ab=4，
∵△ABC的面积等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

．
∴ab=4．
联立方程组得

a2+b2-ab=4 ab=4

解得a=2，b=2．
∴a=2．
（II）∵

m

⊥

n

，∴sinC-sin2A+sin（B-A）=0．
化简得cosA（sinB-sinA）=0．
∴csoA=0或sinB-sinA=0．
当cosA=0时，A=

π

2

，
此时△ABC是直角三角形；
当sinB-sinA=0时，即sinB=sinA，
由正弦定理得b=a，
此时△ABC为等腰三角形．
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角形形状的判断，平面向量的性质等．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．