Question

已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为

2

，
（1）求圆C的方程；
（II）从圆C外一点p（2，3）向圆引切线，求切线方程．

Answer 1

分析：（I）设圆C的半径为r，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，从而确定圆C的方程；
（II）当切线方程的斜率不存在时，显然得到x=2为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k，由P的坐标和k写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程．

解答：解：（I）设圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=r²
因为圆心C到直线l的距离：d=

|1+1-1|

2

=

2

2

，（2分）
所以：r²=(

2

2

)2+(

2

2

)2=1，即r=1，
圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1；（5分）
（II）当切线的斜率不存在时，显然x=2为圆的一条切线；（7分）
当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y-3=k（x-2），即：kx-y-2k+3=0
由

|k-2|

1+k2

=1，解得k=

3

4

，（10分）
所以切线方程为y-3=

3

4

（x-2），即3x-4y+6=0
综上：所求的切线方程为x=2和3x-4y=6=0．（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质．要求学生掌握垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径．