Question

16．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a，a≠0，前n项和为S_n，且$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为A_n，若A₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），求出d=a．由此能求出a_n．
（2）先求出S_n，从而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此利用裂项法能求出结果．

解答 解：（1）∵公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a，a≠0，前n项和为S_n，且$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比数列．
∴设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意得  （$\frac{1}{{a}_{2}}$）2=$\frac{1}{a}•\frac{1}{{a}_{4}}$，化简得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
因为d≠0，所以d=a．所以a_n=na．
（2）∵S_n=a+2a+3a+…+na=$\frac{a•n•（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴A_n=$\frac{2}{a}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2}{a}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{a（n+1）}$，
∵A₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$，∴A2015=$\frac{2×2015}{a×2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
解得a=2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．