Question

对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是 ________．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

①④
分析：证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直．①的证明可转借化证明BC⊥面AHD．④的证明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD．②③条件下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对．
解答：证明：如图
对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；
对于②条件不足备，证明不出结论；
对于③条件不足备，证明不出结论；
对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．
综上知①④正确，故应填①④．
点评：本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常 用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明，