Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）BD₁⊥平面ACB₁
（2）平面A₁BD∥平面B₁CD₁
（3）平面AA₁C⊥平面B₁D₁DB．

Answer 1

证明：（1）由正方体可得：AC⊥BD，B₁B⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∴AC⊥BD₁．
同理可证：AB₁⊥BD₁．
又AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面AB₁C．
（2）∵BD∥B₁D₁，BD?平面B₁CD₁，B₁D₁?平面B₁CD₁，
∴BD∥平面B₁CD₁，
同理可证：A₁B∥平面B₁CD₁，
而BD∩A₁B=B，∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（3）由（1）可知：AC⊥平面BDD₁B₁，
而AC?平面ACC₁A₁，
∴平面AA₁CC₁⊥平面B₁D₁DB．
分析：（1）利用正方体的性质、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；
（3）利用（1）的结论和面面垂直的判定定理即可证明．
点评：熟练掌握正方体的性质、线面及面面垂直的判定和性质定理、线面及面面平行的判定和性质定理是解题的关键．