Question

【题目】已知椭圆C： 经过点 ，左右焦点分别为F1、F2 ， 圆x2+y2=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点
⑴试探究 的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
⑵记△QF2M的面积为S1 ， △OF2N的面积为S2 ， 令S=S1+S2 ， 求S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线x+y+b=0的距离为1，即 ，所以 ，

又椭圆C经过点 ，所以 ，得到 ，

所以椭圆C的标准方程为 ．

（Ⅱ）(1)设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），OQ的方程为x=my，

则MN的方程为x=my+1．

由 得 即

所以 = ，

由 ，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，

所以 ， ， =

= = ，

所以 ．

⑵∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积=△OF2M的面积，∴S=S1+S2=S△OMN，

∵O到直线MN：x=my+1的距离 ，

∴ ，

令 ，则m2=t2﹣1（t≥1）， ，

令 ， ，

∴g（t）在[1，+∞）上为增函数，g（t）min=g（1）=3， ．

【解析】（Ⅰ）先根据圆与直线的位置关系求得b的值，再根据椭圆上点的坐标求得a，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）(1)先设出相关点的坐标并用其表示所需的相关直线方程，再根据题意中直线的相关特点表示|OQ|与 | M N |，进而求得相关的比值；(2)本小题的关键在于将两个三角形面积的和化为一个三角形的和，表示出以后利用函数思想求得面积的最大值.
【考点精析】掌握直线与圆的三种位置关系是解答本题的根本，需要知道直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．