Question

15．设函数f（x）的定义域为R，对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）证明：函数f（x）为奇函数；
（2）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）求f（x）在区间[-9，9]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论f（x）为奇函数，
（2）再利用函数单调性的定义由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，
（3）根据单调性，以及f（3）=-4，得到f（x）在[-9，9]上有最大值和最小值．

解答 （1）证明：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取两个自变量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
（3）解：∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
∴f（x）在[-9，9]上有最大值和最小值                
最小值为f（9）=f（6）+f（3）=f（3）+f（3）+f（3）=3f（3）=-12；
最大值为f（-9）=-f（9）=12．

点评 本题考查的知识点是抽象函数，函数单调性与性质，是对函数性质及应用的综合考查，属于中档题．