Question

【题目】已知函数，函数在处的切线与直线垂直.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得，求出导数，代入解得（Ⅱ）函数存在单调递减区间，等价于在上有解，求出导函数化简不等式得在上有解，最后根据二次方程实根分布得充要条件，解得b的取值范围是.（Ⅲ）先根据是函数的两个极值点，即是两个根，得，再化简，消参数b得，再令得，解得，由解出函数定义域：，可得，最后利用导数求函数最值

试题解析：（Ⅰ）∵，∴.

∵与直线垂直，∴，∴ .

（Ⅱ）

由题知在上有解，

设，则，所以只需故b的取值范围是.

（Ⅲ）

令 得

由题

，则

，所以令，

又，所以， 所以

整理有，解得

，所以在单调递减

故的最小值是