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甲、乙、丙3人各进行1次射击,若3人击中目标的概率分别是
1
2
1
3
1
4

求(1)3人中至少有1人击中目标的概率;
(2)若乙击5次,至少有两次击中目标的概率;
(3)乙至少要射击几次才能使击中目标的概率大于98%;
(4)若三人同时射击,恰有一人击中目标的概率.
分析:(1)记3人中至少有1人击中目标为事件A,则A的对立事件
.
A
为3人都没有击中目标,由相互独立事件概率的乘法公式计算可得P(
.
A
),由对立事件的概率性质,计算可得答案;
(2)记乙击5次,至少有两次击中目标为事件B,则B的对立事件
.
B
为5次中击中1次或没有击中1次,分别计算①5次中击中1次与②5次中没有击中1次的概率,由互斥事件概率的加法公式,计算可得答案;
(3)设乙至少要射击k次才能使击中目标,分析可得其对立事件为k次都没有击中目标,并记为C,易得P(C),又由题意,可得1-P(C)=1-(
2
3
k>0.98,即(
2
3
k<0.02,解可得答案;
(4)分3种情况讨论:①只有甲击中,②只有乙击中,③只有丙击中,计算每种情况的概率,由互斥事件概率的加法公式,计算可得答案.
解答:解:(1)记3人中至少有1人击中目标为事件A,则A的对立事件
.
A
为3人都没有击中目标,
则P(
.
A
)=(1-
1
2
)(1-
1
3
)(1-
1
4
)=
1
4

则P(A)=1-P(
.
A
)=1-
1
4
=
3
4

(2)记乙击5次,至少有两次击中目标为事件B,则B的对立事件
.
B
为5次中击中1次或没有击中,
若5次中击中1次的概率为P1=C51×
1
3
×(1-
1
3
4=
80
243

若5次中没有击中1次的概率P2=(1-
1
3
5=
32
243

则P(
.
B
)=
80
243
+
32
243
=
112
243

则P(B)=1-
112
243
=
131
243

(3)乙至少要射击k次才能使击中目标,其对立事件为k次都没有击中目标,记为C,
则其概率P(C)=(1-
1
3
k=(
2
3
k
若1-P(C)=1-(
2
3
k>0.98,即(
2
3
k<0.02,
解可得,k>5,
则乙至少要射击5次才能使击中目标;
(4)分3种情况讨论:
①只有甲击中,其概率为P3=(
1
2
)(1-
1
3
)(1-
1
4
)=
1
4

②只有乙击中,其概率为P4=(1-
1
2
)(
1
3
)(1-
1
4
)=
1
8

③只有丙击中,其概率为P5=(1-
1
2
)(1-
1
3
)(
1
4
)=
1
12

则恰有一人击中目标的概率P=P3+P4+P5=
11
24
点评:本题考查相互独立事件、对立事件、n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算,涉及范围较大,解题时要分清事件之间的关系.
练习册系列答案
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(Ⅱ)至多1人投中的概率.

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(2)至少有两人击中目标的概率;
(3)其中恰有一人击中目标的概率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

甲、乙、丙3人各进行1次射击,若3人击中目标的概率分别是
1
2
1
3
1
4

求(1)3人中至少有1人击中目标的概率;
(2)若乙击5次,至少有两次击中目标的概率;
(3)乙至少要射击几次才能使击中目标的概率大于98%;
(4)若三人同时射击,恰有一人击中目标的概率.

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科目:高中数学 来源:2005-2006学年重庆一中高二(上)期末数学模拟试卷1(解析版) 题型:解答题

甲、乙、丙3人各进行1次射击,若3人击中目标的概率分别是
求(1)3人中至少有1人击中目标的概率;
(2)若乙击5次,至少有两次击中目标的概率;
(3)乙至少要射击几次才能使击中目标的概率大于98%;
(4)若三人同时射击,恰有一人击中目标的概率.

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