Question

黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠．某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生．但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证．
（Ⅰ）在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；
（Ⅱ）在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人包括两种情况，一个是1名教师有教师证，1名学生有学生证，另一个是1名教师有教师证，0名学生有学生证，这两种情况是互斥的．
（2）由于8名学生中有6名学生有学生证，而又在该团中随机采访3名学生，得到持有学生证的人数随机变量ξ的可能取值是1、2、3，根据古典概型公式做出各种结果，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）记事件A为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，
则该事件分为两个事件A₁和A₂，
A₁为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”；
A₂为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”．
P(A)=P(A1)+P(A2)=

C 1 10 • C 1 6 • C 1 6

C 3 22

+

C 1 10 • C 2 6

C 3 22

=

3

77

+

5

308

=

17

308

∴在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率

17

308

．

（Ⅱ）由于8名学生中有6名学生有学生证，
∴ξ的可能取值为1，2，3，
则P(ξ=1)=

C 1 6 C 2 2

C 3 8

=

3

28

，
P(ξ=2)=

C 2 6 C 1 2

C 3 8

=

15

28

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 8

=

5

14

，
∴ξ的分布列为

∴Eξ=1×

3

28

+2×

15

28

+3×

5

14

=

63

28

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和方差，解题过程中应用古典概型知识，本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．