Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R），g（x）=

2x-2

x+1

-lnx
（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；
（II）设x₁，x₂是函数y=f（x）的两个零点，且x₁＜x₂求证

2

x1+x2

＜a（x₁+x₂）+b．

Answer 1

分析：（I）由题意把a=-1代入f（x），然后分别对f（x），g（x）求导，得出f（x）为定义域上的单调递增，得出f′（x）≥0，利用变量分离法求出b的范围；
（II）由题意x₁，x₂是函数y=f（x）的两个零点，可得f（x₁）=f（x₂）-0，得出x₁，x₂与a，b的式子，然后进行化简，再利用g（x）=

2x-2

x+1

-lnx在（0，+∞）上单调递减，和

x1

x2

＜1，进行证明．

解答：解：（I）∵a=-1，∴f（x）=lnx+x²-bx
由题意可知，f（x）与g（x）的定义域均为（0，+∞）
∵g′（x）=

2(x+1)-(2x-2)

(x+1)2

-

1

x

4

(x+1)2

-

1

x

=

-x2+2x-1

x(x+1)2

=-

(x-1)2

x(x+1)2

≤ 0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
又a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反
∴f（x）=lnx-ax²-bx在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）max，
∵x＞0∴

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时，等号成立）
∴b≤2

2

，∴b的取值范围（-∞，2

2

）；
（II）由已知可得

f(x1)=lnx1- a x 1 2  -bx1=0 f(x2)=lnx2- a x 2 2  bx2=0

∴

lnx1=a x 2 1  +bx1 lnx2= a x 2 2  +bx2

∴ln

x1

x2

= a(x1+x2)(x1-x2) +b(x1-x2)
即ln

x1

x2

= (x1-x2)[a(x1+x2) +b]∴a（x₁+x₂）+b=

1

x1-x2

ln

x1

x2

从而

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b]  =

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]
=

1

x1-x2

[-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]，
∵g（x）=

2x-2

x+1

-lnx在（0，+∞）上单调递减，且

x1

x2

＜1
∴当0＜t＜1时，g（t）＞g（1）=0
∴

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

＞0，
又

1

x1-x2

＜ 0，
∴

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b] ＜0即

2

x1+x2

＜a(x1+x2) +b
即证．

点评：此题主要考查了导数对于函数单调性问题的应用，综合性比较强，第二问的化简很关键，要往所求的不等式两边的式子作为方向进行化简．