Question

已知函数f（x）=x²+4x+3，
（1）若g（x）=f（x）-cx为偶函数，求c．
（2）用定义证明：函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数；并写出该函数的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得g（-x）=g（x），代入可求c
（2）由（1）可得f（x），利用单调性的定义，要证明数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数，只要当-2≤x₁＜x₂ 时有f（x₂）＞f（x₁）即可
故由已证f（x）在[-2，+∞）单调递增 可得f（x）_min=f（-2）=-1可求
解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-cx=x²+（4-c）x+3为偶函数
∴g（-x）=g（x）
∴（-x）²+（4-c）（-x）+3=x²+（4-c）x+3 …（2分）
∴4-c=-（4-c）     
∴c=4                    …（5分）
（2）证明：设-2≤x₁＜x₂ …（6分）
则f（x₂）-f（x₁）=
=（x₁+x₂）（x₂-x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）…（8分）
∵-2≤x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0且x₁+x₂+4＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
故 f（x）在[-2，+∞）单调递增                   …（10分）
f（x）_min=f（-2）=-1
所以函数的值域为[-1，+∞）                       …（12分）
点评：本题主要考查了偶函数的定义的应用，函数的单调性的定义在证明（判断）函数的单调性中的应用，属于基本知识的简单的应用