Question

【题目】已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）,(2) a的取值范围是[﹣2，0]．

【解析】试题分析：（1）将参数值代入，零点分区间分段解不等式；（2）不等式恒成立求参，f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，可化为|ax+1|≤1，再变量分离；

（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2

①当x≥ 时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；

②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；

③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；

综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；

（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，

当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，

解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0]．