Question

若2α+β=π，则函数y=cosβ-6sinα的最大值和最小值为（　　）

• A．最大值为7，最小值为

  1

  2

• B．最大值为7，最小值为-5
• C．最大值为7，最小值不存在
• D．最大值不存在，最小值为0

Answer 1

分析：由2α+β=π，及诱导公式可得y=cosβ-6sinα=-cos2α-6sinα=2sin²α-6sinα-1，配方后结合-1≤sinα≤1可求函数的最值．

解答：解：因为2α+β=π，所以β=π-2α，
所以y=cosβ-6sinα=cos（π-2α）-6sinα=-cos2α-6sinα=2sin²α-6sinα-1=2(sinα-

3

2

)2-

11

2

因为-1≤sinα≤1，所以-

5

2

≤sinα-

3

2

≤-

1

2

，所以

1

2

≤2(sinα-

3

2

)2≤

25

2

，
则-5≤2(sinα-

3

2

)2-

11

2

≤7．
所以函数y=cosβ-6sinα的最大值是7，最小值为-5．
故选B．

点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式在三角函数化简中的应用，考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，解题时要注意不要漏掉条件-1≤sinx≤1，此题是中档题．