Question

【题目】△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为 ，求a+c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：又A+B+C=π，即C+B=π﹣A，

∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，

将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，

在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，

∴cosB= ，又0＜B＜π，

则B=

（2）解：∵△ABC的面积为 ，sinB=sin = ，

∴S= acsinB= ac= ，

∴ac=6，又b= ，cosB=cos = ，

∴利用余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣18=3，

∴（a+c）2=21，

则a+c=

【解析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数求出sinB和cosB的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinB及已知的面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，再利用完全平方公式整理后，将b，ac及cosB的值代入，开方即可求出a+c的值．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．